გიორგი (გოგი) ალექსი-მესხიშვილი დაიბადა 1941 წელს ცნობილი არქიტექტორის ლადო ალექსი-მესხიშვილის ოჯახში. 1967 წელს დაამთავრა თბილისის სახელმწიფო სამხატვრო აკადემია და მას შემდეგ აქტიურად მონაწილეობდა გამოფენებში. 1971 წლიდან გოგი ალექსი-მესხიშვილი მუშაობდა შოთა რუსთაველის სახელობის დრამატულ თეატრში, ზაქარია ფალიაშვილის სახელობის თბილისის ოპერისა და ბალეტის თეატრის მხატვრად, ასევე თანამშრომლობდა კოტე მარჯანიშვილის სახელობის სახელმწიფო დრამატულ თეატრთან. 1975 წელს აირჩიეს შოთა რუსთაველის სახელობის დრამატული თეატრის მთავარ მხატვრად, სადაც გააფორმა დაახლოებით 40 სპექტაკლი. გოგი ალექსი-მესხიშვილს აქვს შექმნილი კოსტიუმები და დეკორაციები მსოფლიოს მრავალი წამყვანი თეატრისთვის, მათ შორის: ჩეხოვის მოსკოვის სამხატვრო თეატრი, La Fenice (ვენეცია), Teatro Comunale di Bologna, ბავარიის სახელმწიფო ოპერა, Habima თეატრი (თელ-ავივი), გენერალური თეატრი სან მარტინი (ბუენოს აირესი), ფინეთის ეროვნული თეატრი (ჰელსინკი), მარიინსკის და ბოლშოის დრამატული თეატრი (სანქტ-პეტერბურგი), შაუსპიელჰაუსი (დიუსელდორფი) და მეტროპოლიტენ ოპერა (ნიუ-იორკი). თეატრის მხატვრობის გარდა მისი შემოქმედება მოიცავს ინსტალაციას, კოლაჟს, ქანდაკებას, ფერწერულ და შერეული ტექნიკით შესრულებულ ნამუშევრებს.
1995 წლიდან გოგი ალექსი-მესხიშვილი ცხოვრობდა აშშ-ში, სადაც მუშაობდა დარტმუთის კოლეჯში პროფესორად. იქ მას საუკეთესო პროფესორის წოდება მიანიჭეს. 2014 წელს საქართველოში დაბრუნების შემდეგ მხატვარმა საქართველოს კულტურისა და ძეგლთა დაცვის სამინისტროს მხარდაჭერით დააარსა გოგი ალექსი-მესხიშვილის სახელობის თანამედროვე თეატრისა და დიზაინის სკოლა.
გიორგი ალექსი-მესხიშვილი სხვადასხვა სახელმწიფო თუ სახელობითი ჯილდოს მფლობელია. მთელი შემოქმედებითი გზის მანძილზე მიღებული აქვს: საბჭოთა კავშირის სახელმწიფო პრემია (კავკასიური ცარცის წრე, 1975); სახალხო მხატვრის წოდება (1981); იგი თბილისის საპატიო მოქალაქე, საქართველოს სახალხო მხატვარი და რუსეთის ხელოვნების აკადემიის საპატიო წევრია. მიღებული აქვს თეატრალური საზოგადოების პრემია წლის საუკეთესო თეატრალურ-დეკორატიული ნამუშევრისათვის 1973 წელს, საქართველოს მხატვართა კავშირის მედალი წლის საუკეთესო ნამუშევრისათვის (1981). საქართველოს მხატვართა კავშირის წევრია 1968 წლიდან.
გ. ალექსი-მესხიშვილის გამოფენები გაიმართა საქართველოსა და საზღვარგარეთ: თბილისში (1982), ლენინგრადსა და მოსკოვში (1982), სანტიაგოში (1994), ნიუ-იორკში, ფარაჯანოვის მუზეუმში (ერევანი, 1993), გალერეაში ”ნევსაკი პეტერბურგი”, ”ბონინო გალერეაში” (ნიუ-იორკი, 1994). 1999 წელს ის მონაწილეობდა ვენეციის ბიენალეში, ხოლო 2011 წელს, სხვადასხვა თემატიკის ინსტალაციებით, პრაღის კვადრიენალეზე საქართველოს წარმოადგენდა. 2016 წელს მის საიუბილეო რეტროსპექტულ გამოფენას უმასპინძლა ეროვნულმა გალერეამ.
მისი ნამუშევრები დაცულია საქართველოს ეროვნულ მუზეუმში, ბახრუშინის თეატრალურ მუზეუმში (მოსკოვი), რუსულ მუზეუმში (პეტერბურგი), აშშ-ის, ინგლისის, საფრანგეთის, რუსეთის კერძო კოლექციებში.