დავით მელიქიშვილმა 1979 წელს დაამთავრა ი.ნიკოლაძის სახელობის სამხატვრო პედაგოგიური სასწავლებელი. 1979-84 წლებში სწავლობდა თბილისის სახელმწიფო სამხატვრო აკადემიაში. 1989 წლიდან თანამშრომლობდა ჟურნალთან “ანო და ვანო”. გაფორმებული აქვს გარეკანი წიგნისათვის მარინა მამულაშვილის პროზა. მუშაობს ფერწერასა და გრაფიკაში, კერამიკასა და ასევე ფოტოსკულპტურაში. ხატავს ძირითადად პორტრეტებს, ასევე კომპოზიციებსა და პეიზაჟებს. დავით მელიქიშვილისთვის ინტერესისა და ძიების საგანია „ადამიანის წინააღმდეგობრივი ბუნება,რთული ლაბირინთებით და ღრმა “უფსკრულით”, რომელიც ხანდხან თავბრუსხვევასაც კი იწვევს.“ 1981 წლიდან სისტემეტიურად მონაწილეობს საშემოდგომო და საგაზაფხულო გამოფენებში “მხატვრის სახლი” (17-ზე მეტი გამოფენა), ჰქონდა არაერთი პერსონალური გამოფენა: თბილისის ისტორიის მუზეუმი “ქარვასლა”, გალერეა “ტაციტა”, გალერეა “ნუცუბიძე”, კავკასიის სახლი”,”ძველი გალერეა”(2002), გალერეა “შარდენი” (2010), “ლიტერატურის მუზეუმი” (2016) და სხვ. 1996 წელს მხატვრის გამოფენა გაიმართა პარიზში “L’Association Couleur Musique Mouvement” საგამოფენო დარბაზში. მისი ნამუშევრები დაცულია საქართველოს, გერმანიის და საფრანგეთის კერძო კოლექციებში.